74 CHAPITRE II. 



comme u — P< contient [z — ^)2 en facteur, l'élément 



M— P, 



iu{z — ^) 



est une fonction régulière au point (ç, -/;), et l'on a, dans le domaine 

 de ce point, 



Ç(^,w;^,rJ = ^ -+- fonction régulière. 



C'est ce que nous voulions démontrer. 



On formera de même une intégrale Ç^^^ (^, u\ \, Yj) finie partout, 

 excepté au point (sTA)? qu'elle admet pour pôle d'ordre (v -h i), 

 la partie principale relative à ce pôle étant 



i^-^Y 



Pour cela, désignons par Pv_|_i le polynôme de degré (v -H i) en ^ 

 obtenu en prenant les v + 2 premiers termes du développement 

 de u dans le domaine du point (^, 7|), suivant les puissances de 



L'intégrale 



Ç<v)(., »; ^, , ) = - (V + X) j^''""_«^L_ dz 



est l'intégrale demandée. En effet, elle est finie aux points à 

 l'infini et aux points de ramification ; elle est finie au point 

 (?, — Y,), car dans le domaine de ce point on a, parla formule 

 de Tajlor, 



(z ^>-^-2 d'^+'^T. 



U--l,^,- _-— -^——^ ^^ _ . . . , 



de sorte que l'élément différentiel est une fonction régulière au 

 point (^, — -^i). Enfin, pour étudier l'intégrale dans le domaine 

 du point (i,'^), on écrit comme précédemment 



dz 



,.(.,«;i„)=-(v..)r r^ 



(So. «0) 



0^+2 2W(^ — O^-^l 



(-^^)--^-^"-C'^^ 



V-.2 ^^- 



