yS CHAPITRE II. 



L'intégrale ainsi formée est finie partout, excepté au point d. 



Dans le domaine de ce point, on a 



i 

 u =z (z — ei)'^ Ui, 



et l'on peut écrire l'élément différentiel, en ajoutant et retranchant 

 ui au numérateur, 



_ 2[Jt-4-I Ui — {ui—P^^[^) _ _ 2[JL-4-I I (2[^-|- l){Ui — V^^[') 



Comme, dans le domaine du point ei, la différence Ui — P^ 

 contient (z — ei)^'^* en facteur, le dernier terme devient au 



point Ci infini de l'ordre de ^^ et son intégrale reste finie. 



(z-e^y 



On a donc en intégrant, dans le domaine du point ei, 



^'2[J.) (z, u\ei) — — mTi~^ fonction régulière. 



{z-eifr- 



Si l'on calcule actuellement la somme 



aux deux points superposés (^, u^) et (g, u^), on a évidemment, 

 quand v est impair, 



V = 2 U. — I , SoM-i = , r- + COnSt. , 



et, quand v est pair, 



v='2[Jt, <iS2fx=o, Sâjx = const. 



42. Nous avons, dans ce qui précède, supposé le pôle à distance 

 finie : qu'arrive-t-il si le pôle est à V in fini? 



Si n est pair, et égal à 2/? + 2, il y a deux points à l'infini oc, 

 etooo, qui se distinguent analjtiquement en ce que, au point oo, , le 



rapport — — tend vers une limite y^A et au point ooo vers la li- 

 mite — y/A. 



Formons, par exemple, l'intégrale de deuxième espèce finie par- , 

 tout excepté au point oo, qu'elle admet comme pôle avec la partie 



