82 CHAPITRE II. 



L'intégrale élémentaire s'obtient en posant jjl = o, 



expression qui, dans le domaine du point go, est de la forme 



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 s^ H- fonction régulière. 



La somme Sv des valeurs de l'intégrale Ç^^^(^, z/;co) aux deux 

 points superposés ( z, Ux ) et [z^u^) est 2 z^ quand v = 2 pi — i et 

 «lie est nulle quand v =: 2[jl. 



43. Les intégrales de deuxième espèce peuvent être déduites de 

 •celles de troisième espèce et de l'intégrale élémentaire de deuxième 

 espèce. Considérons l'intégrale de troisième espèce, dans le cas où 

 les deux points singuliers logarithmiques sont à distance finie, 



TH^'^" {z, u)= — , dz. 



J^^^^^^^^2u\z — a' z-aj 



Lorsque les deux limites (^o? ^^0) et [z, u) sont fixées, ainsi que le 

 chemin d'intégration, Tintégrale est une fonction des deux points 

 analytiques (a', b') et (a, h). Si l'on regarde le point (a'^b') comme 

 fixe, elle est une fonction du point («,^), régulière pour toutes les 

 positions de ce point k disidnice unie non situées su?' le chemin 

 d^ intégration^ car l'élément différentiel est une fonction de 

 (a^b) régulière en tous les points à distance finie, excepté au 

 point a =^ z, b =^ u qui est un point du chemin d'intégration. 



Soit (^, -ri) un point ordinaire de la surface de Riemann ; traçons 

 le chemin d'intégration de façon qu'il ne passe pas par ce point. 

 Alors la fonction inj^' du point (<2, b), étant régulière au point 

 (Ç,T,), est, dans un certain domaine 8 de ce point, développable 

 suivant les puissances positives croissantes de (a — ç) parla for- 

 mule de Taylor. Ce développement a la forme suivante 



(a i^^^^i 



