INTÉGRALES H YPE RE LL I PT I QUE S. 89 



de trouver, 



2^—1 2;?—:» 



(x = 2 aa2 



En différentiant par rapport à <2 et remplaçant «, ^ par ;, r,, 

 on obtient le développement 



alable dans le domaine du point ce. 



44. Étant donnée une intégrale hyperelliptique quelconque, on 

 peut l'exprimer à l'aide d'intégrales de première, de deuxième et 

 de troisième espèce. 



Soit 



(-o,"o) 



» 



une intégrale abélienne, p désignant une fonction rationnelle 

 de z et u. Comme nous l'avons vu, cette intégrale est régulière en 

 tous les points où elle reste finie. Les points où elle devient 

 infinie sont de deux sortes, des pôles ou des points singuliers 

 logarithmiques. 



Supposons qu'il j ait q points singuliers logarithmiques 

 (a,, ,3, ), (ao, j3o), ..., {oLç, Pq)\ dans le domaine du point (a^, ^a), 

 on a 



I = Rk log(z — %,,)-h Of,{z, m), 



c3a(z, u) désignant une fonction uniforme dans le domaine du 

 point (a/t, j^a), pouvant admettre ce point comme pôle. D'après 



les conventions antérieurement faites, il faut remplacer ^ — a/^ 



1 

 par (-3 — e/)" quand le point (a^, J^/f) est un point de ramifica- 

 tion eij par - quand (a/j, j^y^) est un point ordinaire à l'infini et 



