go CHAPITRE II. 



par I - j quand il est \\n point de ramification à l'infini. Le coef- 

 ficient R/( est le résidu de v relatif au point (ay^, [3yt). 



On sait que la somme de tous les résidus d'une fonction ration- 

 nelle V de z el u est nulle. Donc 



Bl-+- R2 4-. . .+ Ry = o. 



Considérons alors l'intégrale 



. dz - R, Ti.^;$;(^, u)- R2<;'|;(^, ^)-. . .- r,_, r^i^-^ 



l-Oi "0) 



-fV' 



{z, u) 



obtenue en retranchant de 1 certaines intégrales de troisième 

 espèce multipliées par R, , R2, . . . , R^_i . 



Cette nouvelle intégrale ahélienne J n'a plus de points singu- 

 liers logarithmiques. En eff'et, dans le domaine du point (a< , (3<), 

 on a 



V dz = Kl log(2 — ai)H- 0]_{z, u), 





donc 



^a'}i ~ log(-^~ ai)H- fonction régulière; 



i 



V dz — Kl w^"L' = ^1(^5 w)+ fonction régulière 



(Zû> «0) ^ ' 



puisque les autres intégrales de troisième espèce retranchées sont 

 régulières au point (a,, p,), la différence est uniforme dans le 

 domaine du point (a,, p<) comme la fonction cp, (5, u) et peut ad- 

 mettre ce point pour pôle, la partie principale étant la même 

 que celle de çp,(^, u). 



On voit de même que J n'a plus aucun des points singuliers 

 logarithmiques (as, ^2), • • • , (a^_, , P^_0- Q^ant au dernier (a^, p^), 

 il disparaît également, car, dans le domaine de ce point, on a 



J = R^log(5 — a^)+cp^(^, u) 



+ (Ri+ R2 + . .+ R^y_i)log(5 ~ a^)4- fonction régulière, 



et comme 



Ri + R2 + .. .-+- R^ = o, 



ie terme logarithmique disparaît encore. La proposition est donc 

 établie. 



