INTÉGRALES H Y P E R E L L I P T IQUE S. Qï 



L'intégrale J, qui n'a plus de points singuliers logarithmiques, 

 peut avoir encore des pôles. Nous allons faire disparaître ces pôles 

 en retranchant de J des intégrales de deuxième espèce. Suppo- 

 sons que dans le domaine d'un pôle (a, b) d'ordre v, on ait 



At A2 Av /•.•'!•« 



J = ! 1 h. . .H- !- fonction resruliere, 



z-a (2 — a)2 {z — ay 



où il faut remplacer z — a par [z — ei)- ou - ? ou ( 3 ) > suivant 



que a coïncide avec un point de ramification, un point ordinaire 

 à l'infini, ou un point de ramification à l'infini. Dans ces condi- 

 tions, la difTérence 



J — Ai^(2, w; a,b)~P^,'Ç{z,u\ a,b) — .. .— kyV-''~'^\z, u\a,b) 

 est régulière au point ( <7, ^), car, dans le domaine de ce point, on a 

 Ç (z, w; a, 6) = 2 ^~ fonction régulière, 



a 



C(-5, «; a, b) = — 4- fonction régulière, 



V"^~'^Uz, u: a, b)= h fonction réf^ulière. 



^ ^ {^z — af^ 



D'ailleurs, comme les fonctions Ç, Ç', ... sont régulières par- 

 tout, excepté au point {a, b), la différence ci-dessus a les mêmes 

 pôles que J, moins le pôle (a, b). On a donc extrait, pour ainsi 

 dire, le pôle (a, b). 



En opérant de même pour tous les pôles, et retranchant de J des 

 sommes d'intégrales de deuxième espèce correspondant à tous 

 les pâles de J, on obtiendra finalement une expression, 



H = J - :S[Air(2, a; «, b) -+- A,r(-, u: a, b) -r- .. .-i- Ay^^''-'^\z, ir.a, b)\ 



(où le signe S s'étend à tous les pôles), n'ayant plus de pôle, 

 c'est-à-dire partout régulière. Cette expression H est d'ailleurs 

 une intégrale abélienne, car c'est une somme d'intégrales abé- 

 liennes : comme elle est partout régulière, c'est une intégrale de 

 première espèce, c'est-à-dire une expression de la forme 



H = Xi M^i -h )v2 «^2 H- . . . -i- Xp Wp -T- const. 



