92 CHAPITRE II. 



Remplaçant H par cette valeur et J par son expression, on ob- 

 tient enfin pour l'intégrale abélienne I l'expression 



(...) '-''-' 





2^^ 



i> dz = > Ryî: HT 



,ait'Pfc 



H- Xi MP-i + X2 W2 "*-•••+ ^/> w^P + const. 



Toute intégrale abélienne peut donc être mise sous la forme 

 d'une somme d'intégrales de première, deuxième et troisième 

 espèce. 



On remarquera que les coefficients R^et A/ sont connus immé- 

 diatement, si l'on connaît les points singuliers de l'intégrale et 

 les parties principales. Il n'en est pas de même des coefficients 

 Al , À2, • • • 5 AjE,. 



45. Une première application importante de cette formule est 

 la représentation dhine fonction rationnelle v de z et u par 

 une somme d^ intégrales de première et de deuxième espèce; 

 ou, en d'autres termes, la décomposition en éléments simples 

 d'une fonction rationnelle de z et u. 



Une fonction rationnelle p de -3 et w est une intégrale abélienne 





-J- étant une fonction rationnelle de z et u. 

 dz 



Comme v n'a pas de points singuliers logarithmiques, la formule 



générale ci-dessus appliquée à (^ ne contient pas d'intégrales de 



troisième espèce et donne la formule 



V = 2[Ai^(s, u: a, b) -f- A2C(5, u\ «, b) +• • •+ Av^^^-i^^, u\ a, 6)] 

 + Xi p^i + X2 «^2 H- • • • H- ^/j Wp + const. , 



le signe S indiquant une sommation étendue à tous les pôles de r. 

 Les coefficients A,, A2, ..., Av sont les coefficients de la partie 

 principale de v dans le domaine du pôle (<:/, ^), 



A, A, Av 



a)2 ' "* i^z — ay 



fonction régulière. 



