INTÉGRALES II YP E R EL L i P T IQ U E S. qS 



et remarquant que le résidu de cette fraction rationnelle au pôle 



z = q est 





I / I I 1 \ i chi 



'ou encore - -j^ 



Gomme toutes les intégrales s'annulent quand (c, u) coïncide 

 avec la limite inférieure (^oj "0)5 la constante G, qui figure dans 

 la formule (A), a pour valeur 



G = -L ^^izt^' . 

 iuq ^0 — ; 



En écrivant la formule ainsi obtenue sous la forme 



z= 1 



on arrive à cette conséquence remarquable que ^intégrale élé- 

 mentaire de deuxième espèce est une fonction rationnelle du 

 paramètre (i, r,). 



47. Voici une deuxième application de cette même formule de 

 décomposition en éléments simples. 



Quand nous avons défini le genre de la relation entre u et ^, 

 nous avons, entre autres, établi le résultat suivant. Pour une re- 

 lation de genre/?, il existe une fonction (^rationnelle en z et u^ ad- 

 mettant pour pôles simples (/>-!- i) points analytic/ues arbi- 

 traires (a,, 3,), (ao, j'jo), (^'-/j+i, ?/;+i); soient 



A 1 A 2 A ^-4-1 



z — OL^' z — OL.y' Z Xp+i 



les parties principales de ^' relatives à ces différents points. La 

 formule de décomposition en éléments simples donne 



V — Al l{z, u; oci, ^1) -+- X2^[z, u; ao, ^2) -t-- • • 



4- A/;+i ^j, U] oLp^i, ^p+i) -i- Xi Wi -^ l,w,~...— IpWp -i- const. 



Gette formule montre que l'intégrale élémentaire v(:?, ?/; a,, 3,), 

 avec un pôle arbitraire (a,, [^,), peut toujours s'exprimer linéaire- 

 ment à l'aide d'une fonction rationnelle r, d'intégrales de première 



