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96 CHAPITRE II. 



espèce et de p intégrales de deuxième espèce, ayant pour pôles 

 des points donnés arbitrairement (as, ^o), •-•, (^p+n P/j+i)- ^e 

 même raisonnement s'applique d'ailleurs à une intégrale quel- 

 conque î^^'^^ de seconde espèce. 



48. La décomposition d'une intégrale lijperelliptique en inté- 

 grales des trois espèces fournit aussi Vexpression d\ine fonction 

 rationnelle v de z et u à V aide d^ intégrales de première et de 

 troisième espèce. 



Appelons Vq la valeur de v au point (sq^ ^^o), on a 



1 ^ / ^ 



dv , 

 — dz. 



L'intégrale figurant dans cette formule est une intégrale abé- 

 lienne : on peut donc lui appliquer ce que nous avons dit de 

 l'expression générale d'une intégrale abélienne par une somme 

 d'intégrales de première, deuxième et troisième espèce. Ac- 

 tuellement cette expression ne contiendra pas d'intégrales de 

 deuxième espèce. On reconnaît facilement que tous les points 

 oii l'intégrale devient infinie sont des points singuliers logarith- 

 miques : aucun d'eux n'est un pôle. L'intégrale considérée est 

 donc une somme d'intégrales de première et de troisième espèce. 

 Formons cette somme : supposons d'abord que la fonction (^ n'ait 

 que des zéros et des pôles simples; soient 



(«1,^1), («2,^2), •••, (a^, è^) les zéros, 

 («1, Pi), (a,, P2), •■•, (ocr/, ^q) les infinis, 



qui sont en même nombre que les zéros. 

 Dans le domaine du point [a^ , &^ ), on a 



t^ = (-5 — <^i) [Ao-f- Ai(^ — ai) + A2(z — «1)24-. . .], 



où Ao est différent de zéro, z — a^ devant être remplacé par 

 V-^ — Gi si (a^^ bi) est un point de ramification <?/, par - si ce point 



est un point ordinaire à l'infini, et par ( - j si c'est un point de 

 ramification à l'infini. Par conséquent, l'expression de l'intégrale. 



