INTÉGRALES IIYPERELLIPTIQUES. 97 



dans le domaine de ce point, est donnée par la relation 

 log— =log(j — «1)+ fonction régulière. 



Dans le domaine du point (a,, |3<), qui est un infini simple, on 

 a de même 





z — a 



[Bo-l-B,(..-aO--...], 



loii — = — log(:3 — 3:1) H- fonction régulière. 



La conclusion s'applique à tous les autres points, zéros ou 

 infinis. La différence 



est donc partout régulière et, comme c'est une intégrale abélienne, 

 c'est une intégrale de première espèce 



Xttvi-i- }.2«'2-+-. • .+ )^/>«>-T- const. 

 On a enfin 



^'^^ r ^ ^ ^av' ,3v"^ ^^1 *'^i + X2 ^2 + . . • 4- Ip IV p -f- const., 



(5) v = kç,e ■ ' "-^^ '"-'^'- V?v, 





A- désignant un facteur constant. 



La fonction ç est ainsi exprimée, à l'aide d'intégrales de pre- 

 mière et de troisième espèce, par une formule mettant en évidence 

 les zéros et les infinis de la fonction rationnelle r. 



Elle est analogue à la formule qui donne une fonction ration- 

 nelle de z sous la forme du quotient de deux polynômes décom- 

 posés en facteurs du premier degré. Elle se réduit d'ailleurs 

 exactement à cette formule élémentaire, quand on suppose que la 

 relation 



u^ = >l{z — ei){z — e.) . . .{z ~ en) 

 se réduit à 



ce qu'on peut réaliser en supposant que /i = i, que A tende ver: 



A. ET G. -7 



