CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. 99 



CHAPITRE m. 



CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. PÉRIODICITÉ: 

 DES INTÉGRALES HYPERELLIPTIQUES (i). 



Connexion des surfaces de Riemann à deux feuillets. — Coupures. — Théorème de 

 Cauchy sur une surface de Riemann.— Modules de périodicité des intégrales hy- 

 perelliptiques. — Relations entre ces modules. — Intégrales normales de première, 

 deuxième et troisième espèce. — Modules de périodicité des intégrales normales. 



49. Dans ce qui suit, nous considérons les surfaces comme 

 des feuillets sans épaisseur, de sorte qu'un point ou une ligne 

 tracée sur la surface seront visibles pour un observateur placé 

 d'un côté ou de l'autre. Les surfaces seront en outre regardées 

 coinme parfaitement élastiques et indéchirables. 



Une surface est dite connexe lorsque, ajant pris sur cette sur- 

 face deux points quelconques, on peut les joindre par un trait 

 continu situé tout entier sur la surface. Nous ne considérerons 

 que des surfaces connexes. 



Une surface est fermée quand elle n'a pas de bords : tels sont 

 la sphère, le tore, un plan indéfini, une des surfaces de Riemann 

 précédemment étudiées, plane ou sphérique. Une surface est 

 ouverte quand elle a des bords : par exemple, un cercle, une calotte 

 sphérique, une sphère avec des trous, etc. Les bords d'une surface 

 ouverte peuvent être constitués par une seule ligne continue ou 

 par plusieurs lignes continues distinctes. Ainsi le bord d'une 

 calotte sphérique est formé d'une circonférence unique, c'est- 

 à-dire d'une ligne continue ; les bords d'une sphère percée de 



(') Ouvrages à consulter : Riemann, Théorie der Abelschen Functionen. — Neu- 

 MANN, Vorlesungen uber Riemann's Théorie der Abelschen Intégrale. — Simart, 

 Thèse de Doctorat, 1882. 



