CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. 123 



sens positif. On a figuré par des flèches le sens dans lequel se 

 meut un mobile parcourant dans le sens positif tout le contour 

 de la surface de Riemann ainsi découpée T', contour formé par 

 les bords des coupures. Il va de soi qu'aux points tels que P ces 

 coupures n'ont aucun point commun, car elles sont dans des 

 feuillets différents. 



Il faut remarquer aussi que la forme des coupures ne joue au- 

 cun rôle : il n'j a d'essentiel que leurs positions relatives. On 

 peut remplacer le système de coupures considéré par tout autre 

 qu'on en déduirait par déformation continue. Par exemple, on 

 peut déplacer d'une manière continue le point d'insertion a^Syo 

 d'une coupure cik sur une coupure hk\ on peut aussi déplacer 

 d'une manière continue le point d'insertion d'une coupure Ch sur 

 les coupures hk-K et bh-, ou même le faire passer d'une coupure /; 

 sur une coupure a. Ainsi, dans Xd, fig. 5o, on pourrait par conti- 

 nuité amener Co à occuper une position telle que c!, ou c[^ ; de 

 même pour C3, . . ., Cp. 



59. Théorème de Cauchy sur une surface de Riemann . — Ce 

 théorème résulte immédiatement des définitions posées dans le 

 Chapitre I. Soity(^, u) une fonction du point analytique (;, w), 

 uniforme dans le domaine d'un point (:;,, Ui) de la surface 

 de Riemann. Supposons que cette fonction soit régulière au 

 point (;,, i^,), ou admette ce point pour point singulier isolé : 

 on peut toujours prendre le domaine du point (Zi,Ui) assez 

 petit pour que, dans ce domaine, il n'y ait pas de point singulier 

 placé autre part qu'en (j3,,;/i). Alors l'intégrale ff{z^u)dz^ 

 prise dans le sens positif sur le contour du domaine 0, est égale 

 à 2t:«R,, R, étant le résidu relatif au point (i;<, i^,); et cela est 

 vrai que le point (^,, u^ ) soit un point ordinaire de la surface à 

 distance finie ou infinie, ou un point de ramification à distance 

 finie ou infinie. 



Considérons maintenant sur la surface de Riemann une aire S 

 finie ou infinie, simplement connexe, limitée par une courbe C 

 formée nécessairement d'un seul trait et représentée sur la sphère 

 par une aire finie simplement connexe S, limitée par une courbe F. 

 Soit /(^, u) une fonction du point analytique (^, u), uniforme 

 dans l'aire S, finie sur le contour C, n'admettant dans l'aire S 



