126 CHAPITRE 111. 



d'autres singularités que des points singuliers isolés, nécessaire- 

 ment en nombre fini. L'intégrale 



f f{z.,u)dz, 

 ^c 



prise sur le contour C dans le sens positif, est égale à 



•2-i(Ri-i-R24-...-+- R^), 



R,, Ro, . . . , R^ désignant les résidas relatifs à tous les points sin- 

 guliers situés sur S et aux points à l'infini si l'aire S est infinie. 

 Pour démontrer ce théorème, découpons par des courbes trans- 

 versales, en nombre quelconque, l'aire sphérique S en parties o-<, 

 o-o, . . ., ^m assez petites pour que dans chacune d'elles il y ait au 

 plus un point singulier ou un point de ramification. Comme à 

 chaque point de la surface sphérique de Riemann correspond un 

 point de la surface plane de Riemann et réciproquement, à cette 

 division de l'aire sphérique S correspondra une division de l'aire 

 plane S en parties s^, 5o, .. . , Sm dont chacune contiendra au plus 

 un point singulier ou un point de ramification. L'intégrale 

 ff{^, u)dzj prise sur le contour total G de S, est égale à la somme 

 des valeurs de cette intégrale prises dans le sens positif sur les 

 contours d , Co, . . . , Cm des aires .Çi , ^o, . . • , Sfm et l'on a 



(I) ff^z,u)dz=^ ff{z,u)dz^ f f{z,u)dz-^...-^ f f{z,u)dz. 

 ^^ ^Ci Je, Jc^ 



Cette formule est évidente, car, dans les intégrales du second 

 membre, les côtés contigus des aires 5, , ^o, . . . , Sm sont parcourus 

 chacun deux fois en sens contraires, et les portions correspon- 

 dantes des intégrales se détruisent : il ne reste donc que les por- 

 tions de ces intégrales relatives aux parties du contour primitif C 

 qui ne figurent chacune qu'une fois dans la somme et dont l'en- 

 semble constitue l'intégrale du premier membre. Mais, dans l'é- 

 quation (i), chaque intégrale du second membre est prise sur le 

 contour d'un domaine assez petit pour ne contenir qu'un point 

 singulier ou un point de ramification au plus : chacune de ces 

 intégrales est égale à itù multiplié par le résidu relatif au seul 



