CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. 127 



point singulier qui peut être situé dans l'aire correspondante, et 

 l'on a bien la relation fondamentale 



(2) f f{z, ii)dz =i-î{Ri-\- R.-^ . . .-^ Rq), 



quelle que soit la forme de l'aire simplement connexe S. 



Le même théorème serait encore vrai, si l'aire considérée S 

 n'était pas simplement connexe et était limitée par une ou plu- 

 sieurs courbes dont l'ensemble formerait le contour C. La dé- 

 monstration est la même. 



00. Voici une importante conséquence de cette formule, ne 

 s'appliquant qu'au cas où S est simplement connexe. Supposons 

 que, dans l'aire S, les résidus soient tous nuls; l'intégrale 

 ci-dessus est nulle. Considérons alors dans l'aire S deux points 

 analytiques Po et P de coordonnées (zq^ Uq) et (^, u)^ et deux che- 

 mins PqMP, PqNP joignant ces deux points. Les valeurs de l'in- 



f y*(^j u)dzj prises le long de ces deux chemins, 



(^0, «0) 

 sont égales. En effet, supposons d'abord que ces chemins ne se 



coupent pas; la courbe fermée PqMPNPo, formée par ces deux 

 chemins placés bout à bout, est une courbe fermée tracée sur une 

 surface simplement connexe S; elle détache donc de cette surface 

 une portion Sj, également simplement connexe. C'est ce qui ré- 

 sulte de ce que nous avons vu (n^' oO, o3) pour les surfaces 



Fig. 5i. 



simplement connexes. Rappelons-en rapidement la raison. La sur- 

 face S peut, par déformation continue, être transformée en une 

 surface formée d'un feuillet plan s à contour simple c; dans cette 

 déformation, les points Pq, P et les chemins PqMP, PqNP de- 

 viennent {fig. Oi) Po, p, pomp^ p^np. Ces nouveaux chemins. 



