19,8 CHAPITRE m. 



placés bout à bout , po^ipupo, forment un contour simple ne se 

 coupant pas, limitant une aire 5<, simplement connexe, située 

 dans s : donc, sur la portion de surface de Riemann S, la courbe 

 PoMPNPo Hmite une aire S, simplement connexe, située tout en- 

 tière dans S. 



Comme, par hypothèse, les résidus de/(^, u) dans S sont tous 

 nuls, cette fonction est uniforme dans S< et elle y a aussi tous 

 ses résidus nuls : l'intégrale ff{z,u)dz, prise sur le contour 

 PoMPNPo de Si, est donc nulle. Or la première partie de cette 

 intégrale, le long de PqMP, est 



/ f{z,u)dz, 



«^Po MP 



et la deuxième, le long de PNPq, est 



fi^z,u)dz- 



f . 



la somme de ces deux intégrales étant nulle, on voit que la valeur 

 de l'intégrale ff(z, u)dz^ du point Pq au point P, est indépen- 

 dante de la courbe le long de laquelle on la prend, pourvu que 

 cette courbe soit située sur S. 



Nous avons supposé que les chemins PqMP et PqNP ne se 

 coupent pas ; s'ils se rencontraient en un certain nombre de 

 points analytiques, il n'y aurait qu'à les comparer à un chemin 

 ayant les mêmes extrémités et ne rencontrant aucun d'eux; et la 

 conclusion serait la même. 



En résumé, l'intégrale 



F(5,«) = Ç ' f{z,u)dz 



a une valeur unique, quel que soit le chemin suivi sur S entre les 

 deux points limites. Laissant le point Po(^05 ^o) fixe et faisant 

 varier le point P(^, ?/), on voit que cette intégrale définit une 

 fonction du point analytique (^, u), F{z, u), uniforme dans 

 l'aire S. Gomme/ est supposé n'avoir dans S que des points Ûvl- 

 guliers isolés à re5«(iw5 nuls, F(^, w) n'aura que des points sin- 

 guliers isolés dans la même aire S. 



