CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. l'2<^ 



61 . Le cas le plus important et en même temps le plus simple 

 est le cas où Faire S se compose de toute la surface de Riemann 

 simplement connexe T', dont le contour G est formé par l'en- 

 semble des coupures a^, bk et c/i précédemment tracées. La fonc- 

 tion /(^, u) est alors supposée uniforme sur toute la surface T 

 et ne possède que des points singuliers isolés. Dans ces conditions, 

 l'intégrale 



X 



f{z,ii)dz, 



prise sur le contour de la surface T' dans le sens positif, est égale 

 au produit de 9.'Ki par la somme de tous les résidus de /. Dans 

 cette intégration, les bords opposés d'une même coupure sont 

 parcourus en sens contraire. 



Exemple. — Si la fonction f{z, u). satisfaisant aux condi- 

 tions précédentes, est uniforme, non seulement sur la suif ace T', 

 rendue simplement connexe par les coupures a, bj c, înais 

 aussi sur la surface primitive de Riemann T non découpée, la 

 somme des résidus de cette fonction, sur toute la surface de 

 Riemann (y compris Finfini), est nulle. Dire que /est uniforme 

 sur la surface primitive T de Riemann, c'est admettre qu'elle ne 

 change pas de valeur quand on franchit une coupure ou ocelle 

 prend les mêmes valeurs sur les bords opposés de chaque cou- 

 pure. Alors l'intégrale 



ff{z,it)dz 



est évidemment nulle, car les deux bords d'une même coupure 

 étant parcourus en sens contraire et la fonction / prenant les 

 mêmes valeurs sur les deux bords d'une coupure, les éléments de 

 Tintégrale provenant des bords opposés de chaque coupure se 

 détruisent deux à deux. La somme des résidus est donc nulle. 

 Ce théorème s'applique en particulier à une fonction ration- 

 nelle de z el U] nous l'avons démontré autrement dans le Cha- 

 pitre L 



62. Supposons maintenant que l'aire simplement connexe S 

 ibrasse toute la surface de Riemann T', et que, de plus, tous 



em 



A. ET G. 



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