i3o CHAPITRE m. 



les résidus de f{z^ u) soient nuls. Dans ces conditions, si l'on 

 prend sur la surface deux points analytiques, Vq{zq^ Uq) et 

 P(^, ?^), l'intégrale 



f{z,u)dz, 



prise de Po en P le long d'une ligne quelconque tracée sur la 

 surface T', c'est-à-dire ne franchissant pas le contour de cette 

 surface constitué par Tensemble des coupures, a une valeur in- 

 dépendante du chemin suivi (n° 60). La limite inférieure étant 

 regardée comme fixe, cette intégrale est donc une fonction uni- 

 forme de sa limite supérieure (^, ?/), F(^, ?/), sur la surface de 

 Riemann T'. Cette fonction F(^, u) n'a d'ailleurs pas d'autres 

 points singuliers que les points singuliers de /(g, w), car, dans le 

 voisinage de tout point où /(^, u^ est régulière, il en est de 

 même de F(^, w), sauf, peut être, pour le point à l'infini. 



Si l'on suppose que /(^, u^ est wne fonction rationnelle de z 

 et u avec des résidus nuls, F(^, ?/) est une intégrale abélienne 

 composée avec des intégrales quelconques de première et de 

 deuxième espèce. Donc une somme d'intégrales de première et 

 de deuxième espèce, ayant même limite supérieure (^, «), est une 

 fonction uniforme de(^, u) sur la surface de Riemann simplement 

 connexe T'. 



63. Laissons de côté le cas o\if(z, u) serait une fonction trans- 

 cendante, et supposons que/(^, u) est une fonction rationnelle de 

 z et u avec des résidus tous nuls. L'intégrale 



F(z,u)=. f ' f{z,u)dz 



^ I-.. Il A 



est alors, comme nous venons de le voir, une somme d'intégrales 

 abéliennes de première et de deuxième espèce : c'est une fonction 

 uniforme de (5, u) sur la surface T' ; la fonction rationnelle /(^, u) 

 est une fonction uniforme, même sur la surface primitive T sans 

 coupures, de sorte que /(z, u) prend les mêmes valeurs sur les 

 deux bords opposés d'une même coupure, car l'épaisseur d'une 

 coupure est toujours supposée infiniment petite. 



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