CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. l3l 



Voyons quelles relations il existe entre les deux valeurs de 

 F(^, II) aux deux bords opposés d'une coupure. Prenons, pour 

 fixer les idées, la coupure a, : soient A un point du bord positif, p 

 {fig- 52) le point situé en face de \ sur le bord négatif, a et ^ les 



Fiff. 52. 



deux points où le bord négatif de la coupure 6, rencontre les 

 bords de «,. La valeur de l'intégrale F(r, u) en un point analy- 

 tique étant indépendante du chemin d'intégration, pour avoir la 

 valeur de F(<5, u) au point À, nous pouvons aller de Pq en a, puis 

 de a en X le long du bord positif de la coupure ; alors 





F()0 = F(a)- / f{z,u)dz, 



la dernière intégrale étant prise sur le bord positif de la coupure 

 «, de a à A. De même, pour avoir la valeur de F(::, u) en p, allons 

 de Po en fi, puis de ^ en p le long du bord négatif 



F(p) = F(^) 



f^ f{z,ii)dz 



Dans la figure, le point Pq est supposé sur le feuillet supérieur, 

 et l'on a tracé un chemin allant de Pq en a sans franchir de cou- 

 pure. Mais les deux intégrales / f(z,u)dzet I f{z, u)dz sont 



égales y car a diffère infiniment peu de ,3, A de p, et les chemins 

 d'intégration de a à a et de ^ à p difî'èrent infiniment peu; enfin, 



