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remarque que B, ou F (y) — F(a) est égal à rinlégrale f{z,u) dz 



prise sur le bord extérieur de la coupure «, de a à y, c'est-à-dire 

 dans le sens indiqué par la flèche. Donc B, est la valeur de l'in- 

 tégrale prise, dans le sens négatif, sur une courbe fermée entou- 

 rant les deux points de ramification e< , 62/)+! et tracée sur les mêmes 

 feuillets que la coupure a^. 



Enfin le module de périodicité Go le long de C2 est nul. On 

 peut le voir d'une première façon en prenant le point de croise- 

 ment tyr^ des coupures bi et Cy qui donne 



F(£)-F(rO=B„ 



F(yJ-F(s)^G2. 



Retranchant les deux premières équations membre à membre, 

 on trouve immédiatement que Go est nul. C'est ce qu'on peut 

 aussi voir directement, car Go ou F('^)— F(£) est égal à l'inté- 

 grale I f(z, u) dz prise de s en y le long du contour suivant 



{/Ig. ^2) : eb\o (bord extérieur de ^i), ôp^ (bord intérieur de «i), 

 jSvia (bord intérieur de b^)^ aXy (bord extérieur de «< ) , enfin 

 y 6'^ y (bord extérieur de Z>i). Gette intégrale est nulle, car, dans le 

 chemin d'intégration que nous venons d'indiquer, les bords 

 opposés des deux coupures ai et bi sont parcourus en sens con- 

 traire, et comme /(;î, u) prend les mêmes valeurs aux points cor- 

 respondants des deux bords des coupures, les éléments de l'inté- 

 grale sont deux à deux égaux et de signes contraires. D'après 

 cela, il n'y a pas de module de périodicité le long de Co ; l'intégrale 

 abélienne F(z, a) de première ou de seconde espèce prend les 

 mêmes valeurs aux deux bords opposés de Co, de sorte que, même 

 si l'on supprimait cette portion de coupure appelée C2, l'intégrale 

 F(:;, u) resterait uniforme sur la surface T^ ainsi modifiée. 



Le même raisonnement montre que, sur chacune des coupures 

 bh{k = 1, 2, ...,/?), l'intégrale admet un module de périodicité 

 Ba, et que sur chacune des portions de coupures Ch{h = 1, . . ., p) 

 le module de périodicité est nul; Ba est égal à l'intégrale 



j /(^) u)dz prise dans le sens négatif sur une courbe fermée en- 

 tourant les points e< , ^2, ^3, . . ., ^2^-,, e^p+i. 



