CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. l35 



L'intégrale F(:;, u), qui est l'intégrale la plus générale, coii*- 

 posée d'intégrales de première et de seconde espèce, a donc 2p mo- 

 dules de périodicité 



Al, Ao, .... Ap, 



Bi. B,, ..., Bp, 



relatifs respectivement aux coupures ou portions de coupures 



cil, CI2, . . . , dpt 



bu ^2, • • , bp. 



Cette intégrale est uniforme sur la surface de Riemann T' ren- 

 due simplement connexe par les coupures a^, bh et c^. Elle ces- 

 serait de lètre si l'on supprimait les coupures, ou, ce qui revient 

 au même, si l'on permettait au point analytique {z , u) de 

 franchir les coupures. Si nous continuons à appeler F(:;, u) 

 la valeur unique que prend lïntégrale en un point {z ^ u) 

 quand la variable (:;, u) ne franchit aucune coupure, la valeur 

 la plus générale que puisse prendre l'intégrale en ce point , 

 quand le point (;;, a) peut franchir arbitrairement toutes les 

 coupures, est 



F(^, u)-r- mi Al ~ m^X^,-^. . .— nipAp-^ /«iBi -f- /?2B2 H-. . .— fipBp. 



m^, 771.2, ..., 77ip, /li, /?o, ..., 7ip étant des entiers quelconques 

 positifs, négatifs ou nuls. En effet, chaque fois que le point (z, u) 

 franchit une coupure, la différence entre les valeurs de l'intégrale 



f ' f{z,u)dz et ¥{z.,u) 



augmente ou diminue du module de périodicité correspondant. 

 Ainsi, par exemple, considérons (/Z^-. 5o)le chemin Pop).p'A'(:?, u) 

 qui franchit les deux coupures <7o, «3, en )., p et)/, p', avant d'arriver 

 au point (^, n). 



L'intégrale prise de Po en p estF(p) puisque la limite infé- 

 rieure est au point Pq par hypothèse. Prise de p à X elle est 7iulle, 

 car l'épaisseur de la coupure est infiniment petite. Prise de A à p' 

 elle est F(p') — F().), de p^ à )/ elle est nulle; enfin de )/ en {z, u) 

 elle est F(^, u) — F(>/). La valeur de l'intégrale de Po en {z, u) 



