CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. 187 



puis e-2, puis e, ; cela résulte de ce qu'une courbe fermée entou- 

 rant les points <?i, ^2, ^3, 62/7+1, comme le bord de la coupure «2, 

 peut, par déformation continue, être amenée à l'ensemble de ces 

 lacets successifs. Cette manière de calculer les modules de pério- 

 dicité permet de comparer les résultats delà méthode de Riemann 

 à ceux que donnent les méthodes de Cauchj [voir Briot, Fonc- 

 tions abéliennes, Chapitre VI). 



64. Dans tout ce qui suit, nous étudierons l'intégrale F(^, u) 

 sur la surface de Riemann simplement connexe T' :¥{z^ u) est 

 alors une fonction uniforme de {z, u) avec ip modules de pério- 

 dicité. En particulier, toute intégrale abélienne de première 

 ou de seconde espèce admet ainsi ip modules de périodicité. 

 Nous allons étudier séparément ces deux sortes d'intégrales ; 

 mais auparavant nous traiterons un exemple, en appliquant ce qui 

 précède aux intégrales elliptiques de première et de seconde 

 espèce. 



Considérons la relation algébrique 



où k est une quantité imaginaire quelconque. Nous avons actuel- 

 lement quatre points de ramification H-i, — i, 4-t» — 7: 



{fie' 54)- Nous conviendrons que, dans le feuillet supérieur, on ait 

 pour V = o, z^ = I , et que les deux feuillets se raccordent le long 

 des lignes de passage suivantes : la ligne droite L joignant les points 



4-1, — î, et la ligne courbe U joignant les points -}- -,? — t* 



La coupure b entoure entièrement les deux points + i et — i 

 dans le feuillet supérieur; la coupure a part du point yo du bord 

 externe de Z>, traverse U, tourne dans le feuillet inférieur autour 



des points 4-t et -f- i, traverse la ligne de passage L et revient 



aboutir au point a^S en face de ycJ. Nous supposerons le point O, 

 (0,1) placé sur le bord positif de cette coupure b. Tci/? = i 

 (figure analogue aiUiLjig. 4o et 4i)- H y a deux modules de pério- 

 dicité pour chaque intégrale de première ou de seconde espèce 

 correspondant à la relation algébrique considérée, c'est-à-dire 



