CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. l39 



Prenons, par exemple, l'intégrale de première espèce 

 Appelons, avec Jacobi, K et îK.' les deux intégrales 



prises dans le feuillet supérieur, la première suivant le segment 



I 

 k 



recliligne de oài, la deuxième suivant le segment i à y» L'intégrale 



/ 



— j prise de — I à H- i dans le feuillet supérieur, est égale à 



2K; si on la prenait de — i à -\- i dans le feuillet inférieur, elle 

 serait — 2K, car les valeurs de u seraient égales et de signes con- 

 traires aux précédentes : donc la même intégrale prise de + i à 

 — I dans le feuillet inférieur est 2K et la période A le long de a 

 est 4K. De même, la période B le long de b est 2/K', car l'inté- 

 grale de T à I, dans le feuillet inférieur, égale l'intégrale de i à -r 



dans le feuillet supérieur. 



Prenons encore l'intégrale appelée par Legendre intégrale de 

 seconde espèce, 



Z(z,u)= / -7— ' 



qui est partout finie à distance finie. Pour des valeurs très grandes 

 de z, on a, dans l'un des feuillets, 



Dans le domaine du point ce dans l'un des feuillets, Z(^, u) est 

 donc de la forme 



z I / I \ I 



Dans le domaine du point ce, dans l'autre feuillet, on aurait un 

 développement de même forme, obtenu en changeant la valeur de 



