CHAPITRE III. 



la constante et le signe de tous les coefficients. L'intégrale Z(^, u) 

 est donc bien de seconde espèce d'après nos dénominations; elle 

 a pour pôles simples les deux points à l'infini dans les deux feuil- 

 lets. Si l'on pose avec Legendre 





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les intégrales étant rectilignes dans le feuillet supérieur, on voit, 

 comme plus haut, que les modules de périodicité de l'intégrale Z, 

 le long des coupures a et 6, sont 



A =41, B' = 2iJ'. 



Remarque. — La courbe G est composée d'une suite de deux 

 lacets ; la courbe G' entourant les points i et -j peut être rempla- 

 cée aussi par deux lacets partant de O et entourant successivement 

 les points i et t ? comme on l'a montré dans la fig. 53 pour la 

 courbe G' entourant les points e^ et ^2 de cette figure. 



6o. Si F(^, II) et F'(^, II) désignent deux intégrales abéliennes 

 composées comme les précédentes à l'aide d'intégrales de pre- 

 mière et de seconde espèce, la valeur de l'intégrale 



1= fF{z,u)dF'(z, u), 



prise dans le sens positif sur le contour de la surface T' de Rie- 

 mann, a une forme remarquable. Le contour de la surface T' est 

 formé par l'ensemble des bords des coupures. Appelons Aa, B/f les 

 modules de périodicité de l'intégrale F, A'^ et B'^ ceux de F' le 

 long des coupures a^ el'bk'-) nous allons démontrer que l'inté- 

 grale 1 a pour valeur 



1 = AiB'i — BiA'jH- AsB'a — B2A'2 ~ . . .-\- KpWp—Bpk'p. 



En effet, évaluons, dans l'intégrale I, les éléments provenant des 

 deux bords des différentes coupures. Prenons d'abord la cou- 

 pure a^ , ). un point du bord positif, p le point situé en face sur le 



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