CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. 14' 



bord négatit. Dans la somme d'éléments I, la partie provenant au 

 bord positif de la coupure a, est {/ig'. Sa) 



f F{l)dF'{l), 



FÇk) et F'Çk) désignant les valeurs de F et F' au point )v, car le 

 point 1 se déplace de a à y; la partie provenant du bord négatif 

 est de même 



/ ¥(p)dF'ip), 



car, lorsque z parcourt le système des coupures, sur le bord négatif 

 il se déplace de o en J5 dans le sens indiqué par la flèche. La somme 

 de ces deux intégral es est, en intervertissant les limites de la seconde, 



f\a)d¥'a)- f ¥{p)dF'(p). 



Maintenant, comme la coupure a une largeur infiniment petite, 

 pour faire varier \ de a à y, il suffît de faire varier p qui est en face 

 de ^ à 8 ; on a de plus 



f'(X) = f'(?) + a;, 



F(X) = F(p)-i-Ai, 

 dF'{l)^dF\p); 



donc la somme ci-dessus devient 



rV(p)-A,]rfF'(?)- f F{p)dF'(p), 

 c'est-à-dire, en réduisant, 



AiJ°^F'(p) = A,[F'(S)-F'(?)]. 



Mais cette dernière difl'érence F'(o) — F'(j3) est la différence 

 des valeurs de F' aux bords positif et négatif de bt ; c'est donc 

 B'^, et la somme des deux intégrales est A, B'^. 



Cherchons de même, dans la somme des éléments I, ceux qui 

 proviennent des deux bords de la coupure bi : nous allons trou- 



