l42 CHAPITRE m. 



ver — B<A'^. Ed effet, appelons encore A et p les deux points 

 opposés sur les deux bords de &< , nous aurons, comme pré- 

 cédemment, les intégrales 



r'F()O^F'(X)- f F{p)dF'{p), 



sur les deux bords de 6, . Or 



F(X)-F(p)H-B„ 



f'()o = f'(p)-i-b;, 



et pour faire varier )^ de y à o il suffît de faire varier p, qui est en 

 face, de a à [3. La somme des deux intégrales est donc 



/ [F(p) + Bi]^F'(p)-/ F(p)^F'(p), 



c'est-à-dire 



bJ ^F'(p)-Bi[F'(P)-F'(a)J. 



La différence F^(a) — F'(p) est égale à A',, car a est sur le 

 bord positif, p sur le bord négatif de «4 ; donc, l'expression ci- 

 dessus est 



— BiA'i; 



en résumé, la partie de l'intégrale I, provenant des bords des deux 



coupures a^ et 6i, est 



AiB;-BiA;. 



De même, la partie provenant des bords des coupures a^^ ^2 est 



A2B2 — B2 A'2, 

 et ainsi de suite. 



La partie provenant des bords d'une portion de coupure Ck est 

 mille; car, sur les deux bords de c^, les fonctions F et F' prennent 

 les mêmes valeurs et les deux bords sont parcourus en sens op- 

 posés. Donc, enfin, I est égal à 



AjB'i - BiA'i +.. .-^KpB'p—Bpk'j,. 



Le théorème est démontré. 



