CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. l/jS 



66. On peut évaluer autrement cette intégrale I. En effet, 

 d'après le théorème de Cauchy, elle est égale à it.î multiplié par 

 la somme des résidus de la fonction 



„ , . d¥'{z, u) 



sur toute la surface de Riemann. En égalant ces deux valeurs de 

 l'intégrale I, on a une relation de la plus haute importance entre 

 les périodes. 





67. Cette relation, que nous n'écrirons pas ici pour le cas gé 

 néral, prend une forme particulièrement simple quand F et F 

 sont deux intégrales abéliennes de première espèce. Alors tous 

 les résidus de la fonction 



„ , , d¥'(z. II) 



sont nuls. Tout d'abord cette fonction n'a que des points singu- 

 liers isolés, car il en est ainsi de chaque facteur F et ^ . De plus, 



dz ^ ^ 



comme le premier facteur F est partout fini puisque c'est une 

 intégrale de première espèce, les seules singularités sont celles 

 qui proviennent du second facteur. A rinfmi, ce second facteur 



-jz est infiniment petit de l'ordre de — ou de [-_) ; il en est de 



même du produit et le résidu est nul. Le facteur — devient 



dz 



infini aux points de ramification: au point ^/, il devient infini 

 comme — ^ -, il en est donc de même du produit F ^, et le 



résidu est encore nul. Donc tous les résidus sont nuls: l'intégrale I 

 l'est aussi, et l'on a entre les modules de périodicité de deux 

 intégrales de première espèce la relation 



AiB'i-B,A;^-A2B', — B, a; +...-!- ApB;,-B^A;, = o. 



68. Pour traiter un second exemple où le calcul de l'intégrale I 

 se fait directement, supposons que ¥ {z^ u) soit une intégralede 

 première espèce^ et F' (^, u) une intégrale élémentaire de se- 

 conde espèce ayant pour seul pôle le point analytique (a, 6), avec 



