l44 CHAPITRE III. 



un résidu égala i. Nous supposerons (a, b) à distance finie et 



distinct d'un point de ramification. On a alors, dans le domaine 



de ce point, 



F'(^, u) = — ^ hao + a,(^ — rt) +. .-, 



z — a 



OÙ les termes suivant le premier forment une série entière en 



- — a. Donc, dans le domaine du même point, 



dz {z — ay- 



D'autre part, l'intégrale de première espèce F est régulière 

 partout : on a dans le domaine du point (a, 6), par la formule de 



Taylor, 



Y{z,u) = ¥{a,b) + {z-a)f{a,b)-^..., 



oiif{Zj u) désigne la dérivée de F(z, u) par rapport à z, de sorte 

 que 



F{z,ii)=Jf{z,u)dz] 



y'(^, u) est donc la fonction rationnelle de z et u dont l'intégra- 

 tion fournit l'intégrale de première espèce considérée. Le déve- 



dT^' 



loppement de F(;^, u) —p au voisinage de (a, h) est, par consé- 

 quent, 



FC^., ft) fia, h) 

 — -,, — '- r- une série entière; 



iz — a)'^ z — a ' 



ce qui montre que le résidu est — /(«? h\ 



Tous les autres résidus du produit F(^, u) —,— sont nuls, car, 



(XZ 



aux points de ramification et aux points à l'infini, F' se comporte 

 comme une intégrale de première espèce, de sorte qu'à l'infini 



d'F' ■ n • • Il • T .^ 



-^ est mtimment petit comme — ou -^ et, en un point de ramifi- 

 ** ^ z^ 



r /7F' 



cation ei à distance finie, infini comme • La fonction F -^— 



\/z-ei dz 



n'ajant qu'un résidu non nul, — f{a^ b), l'intégrale I est égale à 



— 2Tuf{a, b) et l'on a, entre les modules de périodicité des deux 

 intégrales F(^, u) de première espèce et¥'{zj u) de seconde es- 



