I 



CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. l45 



pèce avec le pôle simple («, //), la relation 

 Al B; — Bi a; -+- AaB'a — Bg A'g -^ . . . + ApB^ — Bpk\, = — iT.if{a, b). 



Nous n'examinerons pas comment il faut modifier le second 

 membre quand le pôle (a, b) de l'intégrale de seconde espèce se 

 trouve en un point de ramification ou à l'infini : on doit alors 



calculer le résidu R du produit ¥{z, u) - — -^ — en ce point et 



mettre dans le second membre, au lieu de — iT.if[a^ 6), le pro- 

 duit 27:/R. 



69. De même que le théorème de Gauchj, la formule de Rie- 

 mann relative à l'intégrale / ILdY peut être étendue aune surface 

 à deux feuillets. 



Soit ^(^, ?^) = X+ iY une fonction uniforme du point analy- 

 tique (^, «), régulière en tous les points d'une portion simple- 

 ment connexe S de la surface de Riemann, limitée par un con- 

 tour G. U intégrale j HdY, prise le long du contour total G 



dans le sens direct, a une valeur positive. 



L'aire S peut s'étendre à l'infini et contenir des points de ra- 

 mification. S'il en est ainsi, imaginons qu'on détache les points 

 de ramification en entourant chacun d'eux d'un petit cercle et 

 enlevant la portion de surface intérieure à ce petit cercle, et qu'on 

 enlève de même les portions de cette surface extérieure à un ou 

 deux cercles de rayons très grands. On déduit ainsi de S une 

 nouvelle surface S' située tout entière à distance finie et ne ren- 

 fermant plus de points de ramification. Gette surface S' peut être 

 décomposée par des lignes auxiliaires, en morceaux n'appartenant 

 qu'à un seul feuillet, à chacun desquels on peut appliquer la for- 

 mule de Riemann. En faisant la somme des égalités obtenues, les 

 portions d'intégrales provenant des lignes auxiliaires se détruisent 



et Ton voit que l'intégrale / X<iY, prise le long du contour total 



de S' dans le sens direct, est égale à l'intégrale double 



ifm-m]'"- 



étendue à Faire totale S'. Le contour de S' se compose d'abord du 

 A. ET G. Jo 



