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contour primitif C et en outre des petites circonférences qui en- 

 tourent les points de ramification et des grandes circonférences 



que l'on a ajoutées pour limiter S'. Les intégrales / X<^Y prove- 

 nant de ces lignes sont infiniment petites. Par exemple, lorsque 

 (g, u) vient en un point de ramification (et, o), le point X + iY 

 vient en un point A + Bi à distance finie; au petit cercle décrit 

 autour de (e/, o) sur la surface de Riemann correspond, sur le 

 plan où l'on représente X + /Y, un contour fermé infiniment 



petit entourant le point de coordonnées A, B. L'intégrale / X clY 



le long du petit cercle est égale à l'aire balayée par le rayon vec- 

 teur joignant le point (A, B) au point (X, Y). Donc, la valeur de 



l'intégrale / X dY le long du petit contour entourant le point et est 



infiniment petite; on peut la supprimer sans altérer le signe de 



l'intégrale totale / X^/Y étendue au contour de S^ De même, 



quand le point [z^ u) vient en un point à l'infini, le point X h- iY 

 vient en un point (A, B) à distance finie. Quand {z, u) décrit sur la 

 sphère un contour fermé infiniment rapproché du point O^ ou 

 dans le plan un contour formé d'un ou deux cercles de rayon 

 très grand, le point (X, Y) décrit dans le plan représentatif de 

 X + iY une courbe fermée infiniment petite autour du point 



(A, B). La valeur correspondante de l'intégrale / X <fY est égale à 

 l'aire de cette courbe fermée, elle est donc infiniment petite et sa va- 

 leur n'influe pas sur le signe de l'intégrale totale / X dY étendue à 



tout le contour de S'. L'intégrale / X <iY étendue au contour pri- 



dc 



mitif ne différant de / X <iY, étendue au contour auxiliaire, que 



par des intégrales infiniment petites, ces deux intégrales ont le 

 même signe, et le théorème est démontré. 



70. Faisons l'application de ce théorème aux intégrales abé- 

 liennes de première espèce. Soit F(;^, u) une intégrale abélienne 

 de première espèce; c'est, sur la surface simplement connexe 

 T' limitée par les bords du système de coupures a^, 6/,, Ch une 



