CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. l47 



fonction partout régulière. Si donc on pose 



F{z, u) = \^iY, 

 l'intégrale 



IxdY 



étendue au contour de la surface de Riemann tout entière T', c'esl- 

 à-dire prise le long des bords des coupures, est positive. Soient 



A A- = oc/, -r- fa'^., Ba- = 1^/, -H 1 8^. 



les modules de périodicité de F(^, u) sur les coupures <7a, 6a, en 

 mettant en évidence les parties réelles et imaginaires. Alors, sur 

 les deux bords X et p d'une coupure «a, on a 



F(X)-F(p) = Aa-, 

 c'est-à-dire 



X(X) - .-YO) - X(p) - A'(p) = aA.-^ .-a;-, 



en appelant X( a), Y(a), ... les valeurs de X et Y au point )., . . .. 

 On a donc 



X(X) - X(p) = aA-, YfA) - Y(p) =. a'^.; 



de même sur les bords de b/^^ 



X(X)-X(p) = .3a-, Y(a)-Y(p)-3),.. 



Sur les bords des portions de coupures c/j, ces différences sont 

 nulles. D'après cela, l'intégrale 



=i^ 



J = / X dX 



I 



prise dans le sens positif le long des bords des coupures a pour 

 valeur 



J = 3fi ^3', — ^1 a'i — a, ^2 — 1^2 3t 2 -4- ... + oLp ^'p — 3y, a;, ; 



c'est ce qu'on voit en répétant identiquement le raisonnement du 

 n*^ 65 qui nous a donné la valeur de l'intégrale 



fF{z,ii)dF'(z, u), 



avec les conditions 



F(X)-F(p) = Aa., F'(X)-F'(p)==A'a. 



