l48 CHAPITRE III. 



sur les coupures «a, et 



F(X)-F(p) = B/,, F'(X}-F'(p) = B'/, 



sur les coupures b^, les mêmes différences étant nulles sur Ch- 



Donc, pour une intégrale quelconque de première espèce, la 

 quantité J est positive. Il est, en particulier, impossible que 

 toutes les quantités a^, a2, ..., a^, a',, ..,, a^^ soient nulles en 

 même temps, c'est-à-dire que Ai, A2, ..., Ay, soient tous nuls. 

 On peut faire la même remarque pour Bi, Bo, . . ., B^. 



Par exemple, pour l'intégrale elliptique de première espèce que 

 nous avons considérée au n" 64, les deux modules de périodicité 

 correspondant aux deux coupures a el b (p ^= i) sont 



A = 4 K = a -H ia', B = 2 iK' = ^ + i^'. 

 On a alors 



ce qui démontre que, dans le rapport -^, la partie réelle est posi- 

 tive; on a, en effet, 



K ia — a' a'-^-i-a'- 



71. Intégrales normales de première espèce. — Nous avons 

 trouvé qu'il existe /> intégrales de première espèce linéairement 

 indépendantes 



Nous appellerons 



Aa-i, Ax-2, .-., ^kp, 



Bai, Ba-2, . . . , ^kp 



les modules de périodicité de Wk le long des coupures a^.a^, . ■ ■ . 

 ap et 6i, 62, . .., bp. 



Posons, en désignant par k un des nombres i, 2, ...,/?: 



Aj, Ào, . . . , X^ étant des constantes. La fonction w^^'^ est aussi une 



