CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. 149 



intégrale de première espèce : ses modules de périodicité, que 

 nous appellerons 



«Al, Clkïj •••, «A/^, 

 ^Al, ^A-2; ^A-pj 



sont donnés par les équations 



(4) 



«Al = ^^1 An -t- X2A21 — . . . ^ Xpkpx^ 



«A^ ^= ^lAi2 "+~ A2A22 --' . . . -r- Ap\p->, 



«A7J= ^1 Aiy,-T- X2A2/, 



^P App, 



(5) 



/ ^^;;.i ^^ XiBh + X2B21 -- . . . -I- XpBpi, 

 ) 6a-2-XiB,,-+-X2B22-|- ... -^XpBp2, 



' ^A-p= XlBjp-i- X2B2P-7- ... -i- XyjBpp. 



Tout d'abord, le déterminant des modules de périodicité A^ ^ 



est différent de zéro. En effet, s'il était nul, on pourrait déter- 

 miner les constantes )h i ^^2, • - • ? ^^p de telle façon que les modules 

 de périodicité ak\ , «as, • • - ' ciup donnés par {^) fussent tous nuls à 

 la fois. Car on aurait, pour déterminer les constantes \^p équations 

 linéaires et homogènes à p inconnues, le déterminant des coeffi- 

 cients étant nul : on aurait au moins un système de valeurs des 

 \ non nulles toutes à la fois. Mais alors la fonction ^v^^^ {z, u) serait 

 ime intégrale de première espèce pour laquelle tous les modules 

 de périodicité relatifs aux coupures ai, ag, . . .^ap seraient nuls, 

 ce qui est impossible, comme nous l'avons vu à la fin du numéro 

 précédent. 



Le déterminant A n'étant pas nul, nous déterminerons les X en 

 écrivant que, dans l'intégrale w^^\ tous les modules de périodicité 

 relatifs aux coupures a sont nuls, excepté celui qui se rapporte 

 à la coupure Uk et que nous ferons égal à irù, 



'^kh 



0, {hXk) 



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