CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. 1 53 



nous avons 



*(mi, . .., nip) = cp(m,, . . ., nip) -^ ^ — i 'l{mi, .. .,mp)^ 



'Z){7ni, . . ., nip) et 6(/?i,, . . ., nip) étant des formes quadratiques à 

 coefficients réels. Attribuons aux indéterminées m^, m.2, ---t rrip 

 des valeurs réelles et appliquons la formule de Riemann (n" 70) 



^(av?;-a;^j >o 



à l'intégrale de première espèce 



On a ici, en mettant en évidence les parties réelles et imaginaires 

 des modules de périodicité de W, 



\!j = 2 ( nii %'l., — ma a'^^ — . ■ . -t- rUpT.'') 



/'^ ^ d/?iv 



et la formule de Riemann devient 



1 -T-^ H- . . . H- mj3 -— ^ = 4 -? /«i, • • • . '^^/j) < ^• 

 diiiY ^ àmpj 



La forme quadratique cp(/?i,, ..., m^) est donc négative pour 

 toutes les valeurs réelles des indéterminées /??, , mo, . . . , nip. C est 

 une forme définie et négative. 



Cette propriété^ qui est la généralisation évidente de la pro- 

 priété rappelée plus haut pour le rapport des périodes de l'inté- 

 grale elliptique de première espèce, est fondamentale pour Fin- 

 version. Pour le moment, nous en déduirons seulement la remarque 

 suivante. Il peut se faire que les ip périodes de quelques-unes 

 des intégrales de première espèce se ramènent à un moindre 

 nombre; mais cela ne peut avoir lieu en même temps pour les ip 

 systèmes de périodes simultanées des p intégrales de première 

 espèce. En d'autres termes, il est impossible d'avoir, entre les 



