l54 CHAPITRE III. 



ip périodes A4 , Ao, . . . , A^, B, , . . . , B^ de chaque intégrale de 

 première espèce, une relation de la forme 



mi Al + . . . -f- nip Ap -1- /Il Bi -+- . . . H- Zip B/; = o , 



m^^ ...,77ip, ?if, . . . ^ ?ip étant des nombres entiers, la relation 

 devant être la même avec les mêmes entiers pour toutes les inté- 

 grales de première espèce. En effet, s'il existait une pareille rela- 

 tion, on aurait en particulier pour l'intégrale normale w^^^(z, u) 



p 

 1 nth-K \J— I H- 2 \^ rik^hu — o 



ou, en prenant la partie réelle, 



/ / , do 



2nia/,i -f- 2n2a/^2 + ...-+- iripa'j^ij = —^ =:= o. 



On aurait pareillement 



et par suite '^{ji\, . . . , /^^) = o, ce qui est impossible. 



75. Intégrales normales de deuxième espèce. — • Soit 

 Ç(^, u\ a, U) une intégrale élémentaire de deuxième espèce avec 

 le seul pôle simple (a, b) de résidu i. Soient A4, Ao, . . ., A^; Bi, 

 Bo, . • ., Bp ses modules de périodicité. L'intégrale 



Z — t{z, u\a^h)-\- Vi w^i^-f- V2W^2) . . . -i_ v^np(y>) 



est encore de deuxième espèce, quels que soient les coefficients 

 constants Vi, Vs, ..., v^. Nous déterminerons ces coefficients en 

 écrivant que les modules de périodicité de Z le long des coupures a 

 sont tous nuls. Nous aurons ainsi 



Ai+ 2Vi7rf = o, A2+ SV^TTf = o, ..., 



car le long de a^ le module de périodicité de Z est k^ + 2V|7ri, 

 celui de w^"""» étant iizi et ceux de w^-\ ..., w^P^i étant nuls. 

 L'intégrale Z , ainsi formée , a le long des coupures h^ , 

 b^, .-., bp des modules de périodicité B'^ , B^, . . . , B' , les mo- 

 dules A'^, ..., A^ étant tous nuls : c'est l'intégrale normale de 



