l56 CHAPITRE III. 



résidu du produit 



dZ{z, u) 



W^'''{Z, II) 



au point (a, b). 



Il est intéressant de remarquer que les modules de périodicité 

 de l'intégrale normale Z de deuxième espèce sont des fonctions 

 rationnelles de (a, b) : cela résulte de l'expression même que 

 nous venons de trouver pour ces modules de périodicité. On peut 

 s'en rendre compte a priori en se rappelant que l'intégrale élé- 

 mentaire de deuxième espèce, Ç étant une fonction rationnelle 

 de (<2, b), comme nous l'avons vérifié (n° 46), ses modules de 

 périodicité, qui sont les différences des valeurs de l'intégrale aux 

 deux bords d'une coupure, sont des fonctions rationnelles de 

 (a, 6). Les coefficients Vi, Vo, ..., v^, définis plus haut, sont 

 donc aussi rationnels en (a, b) et, par suite, l'intégrale normale Z 

 est une fonction rationnelle de (a, b) et a pour modules de pé- 

 riodicité des fonctions rationnelles de (a, b). 



76. Les considérations précédentes ne s'appliqueraient pas sous 

 la même forme aux intégrales hjperelliptiques de troisième 

 espèce, car ces intégrales,, à cause de la présence des points sin- 

 guliers logarithmiques, ne sont pas des fonctions uniformes de 

 leur limite supérieure sur la surface découpée T^ de Riemann. 

 Mais elles deviennent des fonctions uniformes de leur limite supé- 

 rieure si l'on modifie la surface T^ de façon à exclure les points 

 critiques logarithmiques. C'est ce que nous allons démontrer en 

 détail pour l'intégrale élémentaire de troisième espèce (n° 35) 



f f{z,u)dz. 



'(-o>"o) 



Cette intégrale est régulière en tous les points de la surface 

 primitive T de Riemann, excepté aux deux points (a, b) et (a', U). 

 Dans le domaine du point (a, 6), elle est de la forme 



Txi{z, II) —- — log(z — a) -h fonction régulière; 



dans le domaine du point (a', 6'), de la forme 



Trf(2, II) — log(s — a') -\- fonction régulière. 



