CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. ID~ 



Si l'un des points, (a, b) par exemple, coïncide avec un point 

 de ramification e/, il faut remplacer dans la première expression 

 z — a par ^z — ei; si (a, b) est un point simple à l'infini, il faut 

 remplacer z — a par -; enfin, si (a, b) est un point de ramifica- 

 tion à l'infini, z — a par -— • Dans tous les cas, d'après les défini- 



tions posées précédemment^ la fonction rationnelle /(^, u)^ dont 

 rn{z, II) est l'intégrale, a, sur la surface de Riemann, tous ses ré- 

 sidus nuls, excepté les résidus relatifs aux points (a, b) et (a^, b'), 

 qui sont respectivement — i et + i. La valeur de l'intégrale 



/• 



f{z, u)dz, 



prise dans le sens positif sur la limite du domaine du point (a, 6 }, 

 est égale à — 2.T,i, et, sur la limite du domaine du point (a', 6'), 

 à -t- 2 7:;. 



L'intégrale tj5(z, u) n'est pas une fonction uniforme de (^, u) 

 sur la surface de Riemann P, rendue simplement connexe par 

 les coupures «a, bk, Ck- Pour obtenir une surface sur laquelle elle 

 soit uniforme, il faut transformer la surface T' par le procédé 

 suivant. 



Marquons sur la surface de Riemann {Jig. 55) les points (a, b) 

 et («', b') que nous supposons pour fixer les idées dans le feuillet 

 supérieur en des points ordinaires. Partons d'un point (a, 3) du bord 

 d'une des coupures de T', de ap par exemple, et faisons dans un 



Fis. 55. 



feuillet de la surface de Riemann une fente / aboutissant au 

 point (rt, 6), sans franchir aucune coupure, puis une nouvelle 

 fente m de {a, b) à {a' , b'), sans franchir aucune coupure. Dans 

 la Jig. 55, nous avons élargi cette fente dans le voisinage des 



