l58 CHAPITRE III. 



points («, /;) et {a' , b')^ de façon que ses bords prennent la forme 

 de deux petites circonférences o- et o-' de centres (a, h) et (r/, 6') ; 

 mais il est supposé que la largeur de la fente et les rayons de o- 

 et 0-' sont infiniment petits. Gomme nous l'avons fait précédem- 

 ment, pour les coupures, nous distinguerons le bord positif et le 

 bord négatif de cette fente /+ 7n. Soient et x les points où les 

 bords du petit cercle a-' rencontrent les bords de la fente m : nous 

 choisirons les bords positifs et négatifs de m de telle manière 

 qu'un mobile parcourant la circonférence a-' dans le sens positif au- 

 tour de (a', 6') (sens contraire de la flèche) conduise du bord négatif 

 de m au bord positif. Le bord négatif est donc celui qui aboutit 

 en X, le bord positif celui qui aboutit en Q. Le bord négatif de la 

 fente m -\- l se prolonge ensuite, par continuité, de x jusqu'en p, 

 et le bord positif de ô en a. On a marqué du signe 4- et de la 

 lettre "k le bord positif, la lettre p étant mise en face de A sur le 

 bord négatif. 



Désignons par T" la nouvelle surface de Riemann déduite de la 

 surface T', en ajoutant au système de coupures <2^, Z>/f, c/i la fente 

 l-^ m, qui n'est qu'un prolongement du bord positif de la cou- 

 pure ap. Le contour de cette surface simplement connexe T" est 

 formé par les bords des coupures cik, bk, Ch et de la fente /-t- m. 

 Si un mobile décrit le contour de cette surface T'' dans le 

 sens positif (aire enveloppée à gauche), il parcourt les bords des 

 coupures a^, b^^ ca, comme dans la fig. 5o, avec cette seule 

 différence que, lorsqu'il arrive en a sur le bord positif de la cou- 

 pure cip {fig. 55), au lieu d'aller directement en ^ et de conti- 

 nuer, il va de a en o, s, 0, le long de la fente / ^- m, puis revient 

 par G , T., 7|, V jusqu'en p, d'où il continue son mouvement comme 

 auparavant. 



Revenons maintenant à l'intégrale 



^a,'/. '(-^' ") = / f{^, U)dz. 



Sur la surface simplement connexe T% la fonction rationnelle 

 f{z, II) est uniforme et n'a que des résidus tous nuls, car la 

 fente l -^r m a précisément supprimé les seuls points (a, b) et 

 {a', b'), où les résidus n'étaient pas nuls. L'intégrale m{:z, u) est 

 donc une fonction uniforme du point analytique {z, u) sur la 



