CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. 09 



surface T'^ de Riemann. Si l'on compare les valeurs qu'elle prend 



aux points correspondants des deux bords d'une coupure, on 



trouve, en répétant identiquement ce qui a été dit au n° 63 



pour les intégrales de première et de deuxième espèce, les résultats 



suivants. La différence ^(a) — ^(p) ^ "ne valeur constante le 



loDg de chacune des coupures «a. 6a, Ch et des fentes l et m. 



On a 



Le long de «a-, tîî(X) — ^(p) = ^^k I 



Le long de 6a-, t!t(X) — Tn(p) = llbA- \ 



Le long de c/j, w(l) — rjs(p) = o; 



Le long de /, ^0') — ^(p) = -Cj 



Le long de /??, Tn{X) — vj(p) = DTL. 



Les constantes A^a? '^''^à- sont les modules de périodicité de l'in- 

 tégrale de troisième espèce w sur les coupures «a et ^a- Nous 

 allons déterminer les valeurs des constantes S^ et OIl, et mon- 

 trer que 



J^= o, Ole = 2t:î. 



En effet, commençons par DTl; cette constante est la valeur de 

 la différence tjsO.) — ^(p) le long de la fente m : on a donc en 



particulier 



Oit = m{f)) — cî(x), 



ce qui montre que DTi, est la valeur de l'intégrale 1 f{z^ u)dz, 



prise de x en le long d'un contour quelconque ne franchissant 

 aucune fente ni coupure, par exemple le long du cercle a-' dans le 

 sens positif autour de («', b') (sens contraire de la flèche sur la 

 fig. 55). Or cette intégrale est égale à 27:1 multiplié parle ré- 

 sidu de/(^, u) au point (a', b')^ qui est i. Donc Olu est bien 

 égal à 2-/. On a ensuite 



.C-nT(5)-C0(v); 



-Ç^est donc la valeur de l'intégrale / f{z^ u)dz, prise dey en sur 

 un contour quelconque G, ne franchissant aucune coupure ni 

 fente, par exemple sur le contour yo-TiX^GîTO : le contour doit 

 être regardé comme fermé, car o est infiniment voisin de y. 

 D'après le théorème de Gauchj, celte intégrale est égale à 2-/ 



