l6o CHAPITRE III. 



multiplié par la somme des résidus de /(s, u) relatifs aux pôles 

 situés dans le contour d'intégration que nous venons d'indi- 

 quer : les deux seuls pôles situés dans ce contour sont les pôles 

 (<2, 6), (a\ b') avec les résidus — i et + i dont la somme est 

 nulle. Donc 4^ est bien nul. ^ 



On peut donc dire que l'intégrale élémentaire de troisième 

 espèce admet ip -h i modules de périodicité, 



cAai, oRfl,, . . . , cilojy sur les coupures afc\ 



2 7ri sur la fente m. 



Si l'on supprimait le système des coupures et des fentes, l'inté- 

 grale nT(^, u) ne serait plus une fonction uniforme de (^, u) sur 

 la surface T de Riemann. Elle prendrait en chaque point (^, u) 

 une infinité de valeurs qui se déduisent toutes de l'une d'elles par 

 l'addition et la soustraction des 2/?+i modules de périodicité. 

 Ainsi, l'une des valeurs étant tj5^ (^, u)^ la valeur la plus générale 

 de l'intégrale sera 



TÀ5{z, u) = mi{z, u) -+- nii JUi -+- m2<Jl£)2-4- ... -h mpA>p 



+ /Il lILl ^ 712 1112 + • • • + 'î/j lAîp -4- 2 71 t: i, 



in^ , wzo, . . . , nip, /11, 712, ' • 1 rip., n étant des entiers quelconques 

 positifs, négatifs ou nuls. C'est ce qu'on voit, comme précé- 

 demment, pour les intégrales de première et de deuxième espèce 

 (n" 63). 



Nous avons fait la figure en supposant que les points («, Z>), 

 {a! ^ h') sont des points ordinaires à distance finie. D'après les dé- 

 finitions données du domaine d'un point quelconque de la surface 

 de Riemann (n°46-17), on sait comment il faut modifier les cercles 

 a- et a-' formant les domaines des points (a, 6), (a', h'), quand l'un 

 ou l'autre devient un point de ramification ou s'éloigne indéfini- 

 ment. Nous avons figuré dans l'angle de la fig. 55 la nouvelle 

 forme ^\ que devrait prendre cr' si le point (a', h') était un point 

 de ramification ei. 



77. Intégrales normales de troisième espèce. — Posons 



n 



a', 6' 



(5, u) = î^«''^*' {z, U) + Xi W(l) + X2 W(2) _i_. . .+ \ wkp) 



