CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. l6l 



)v, , Àoi • • -, ^^/j étant des constantes et (V^'\ iv^-^^ . . . , w^p^ les inté- 

 grales normales de première espèce. Cette intégrale II est, comme 

 TU, une intégrale de troisième espèce. Pour obtenir l'intégrale nor- 

 male de troisième espèce, on détermine les À de telle façon que les 

 modules de périodicité de n le long des coupures a, , ao, . . . , ap 

 soient nuls. Le module de périodicité de H le long de «a- est 



car celui de m est ^l,A, et les modules de périodicité de tv^'^, (v^^)^ ^ 

 iV^P^ sont tous nuls sur «a, excepté celui de {V^^\ qui est ir.i. On 

 déterminera donc les X par les conditions 



cW- -r- 2 Xyt - t = G (A- = I, 2, .. .,/>). 



L'intégrale H ainsi obtenue est Vintégrale normale de troi- 

 sième espèce avec les deux points singuliers logarithmiques (a, b) 

 ei{a',b'). 



Cette intégrale admet encore les modules de périodicité sui- 

 vants : 



Sur b};, le module de périodicité IJlj'yt, 

 Sur m, le module de périodicité i-i, 



car, sur les deux bords de m, les intégrales w^'\ (p(-\ ..., w^P^ 

 prennent les mêmes valeurs. 



78. Les modules de périodicité oJb'^ ont des expressions remar- 

 quables. Pour les obtenir, considérons l'intégrale 



Jj„ dz 



oij w est une intégrale quelconque de première espèce, l'inté- 

 grale H étant prise dans le sens positif sur le contour de la sur- 

 face T", contour formé par les bords des coupures a>;, hk-^ Ch et 

 des fentes / et m. La fonction 



dW 



est uniforme sur la surface T" et a tous ses résidus nuls. En effet, 

 les deux facteurs sont uniformes. Le premier est partout fini; le 



A. ET G. II 



