l62 CHAPITRE III. 



deuxième a tous ses résidus nuls, car l'intégrale II ne devient 

 infinie qu'aux deux points (a, h) et («', 6'), qui sont exclus de la 



surface T". Le produit {v -r- di donc bien tous ses résidus nuls, 



et l'intégrale H est nulle. Nous allons évaluer directement cette 

 intégrale. 



Le contour de T'^ est formé du contour de T' (bords des cou- 

 pures cik, bk, c/i), des bords de la fente /, des bords de la fente m 

 et des bords des circonférences a- et a-' {Jîg- 55). L'intégrale H 

 peut donc être divisée en cinq parties, l'une relative au contour 

 de T', l'autre aux bords de /, la troisième aux bords de m, les 

 deux dernières aux circonférences a- et a-', et l'on a, en désignant 

 par les indices T', /, m, <j, a-' ces cinq parties, 



<8) 



Jt '"" ^^ " "^ J/ "*" .L "^ X "^ X' 



La deuxième de ces intégrales est nulle : en effet, sur les bords 

 de la coupure /, les deux fonctions iv et -^ prennent les mêmes va- 

 leurs et ces deux bords sont décrits en sens contraire : la somme 

 des éléments relatifs aux deux bords de /, c'est-à-dire la deuxième 

 intégrale, est donc nulle. On voit de même que la troisième de 

 ces intégrales, celle qui est relative aux bords de m, est nulle. L'in- 

 tégrale relative à la circonférence infiniment petite (t' décrite dans 

 le sens positif par rapport à son extérieur T" (sens de la flèche) 

 est égale à — itu multiplié par le résidu de la fonction intégrée 



w -ji au point (a', h') : en effet, cette circonférence a-' entoure le 

 domaine du point {a'^b') et dans ce domaine w{z^u)ç.si fini, 

 -j- admet le seul pôle z =i a' . Evaluons le résidu de iv ^-r- au 

 point (a', b') : on a dans le domaine de ce point 



w{z, u) = w{a', ^')4- a,(^ — a')-+- 0L2{z — a')^^-. . ., 



aj, ao, . . . étant des constantes. 



dz 



Po+?,(^-a')+P2(^-«')' 



Po> Pn ••• étant des constantes. Dans le produit w -^, lecoeffî- 



dz 



