CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. î63 



cient de , ou le résidu est donc (v(a', 6'). On vérifiera d'après 



les définitions données que ce résultat est général et a encore lieu 

 quand (rt', h') est un point de ramification ou un point à distance 

 infinie. L'intégrale 



X 



w —r- az 



est donc égale à — 2iTnv(a', b'). De même l'intégrale affectée de 



cm 



dz 



l'indice a- est égale à 2iT.iv(a, b), car le résidu de -r: an point («, b) 



est — I . L'équation (8) nous donne donc 



(9) 



J tp — c?-3 — 2i-[w{a',b') — w{a,b)]=o 

 j. az 



où il ne reste plus qu'à évaluer la première intégrale. Mais le 

 calcul de cette intégrale est identique à celui qui a été fait (n° 6o) 

 pour le calcul de l'intégrale appelée I, sauf le changement des inté- 

 grales F et F' en iv et II. Appelons A;t, B/f les modules de pério- 

 dicité de w, 'X'f^^ iiî))^ ceux de II le long des coupures a/i et b/,- : l'in- 

 tégrale I iv -Tz dz a pour valeur, en vertu du calcul du n'' 65, 



A,Di,; - Bi .1,; -h AaDi; - B2 Ao'o + . . .-T- A^,\)i,;,- Bp.l,;,; 



mais, comme II est l'intégrale normale de troisième espèce, les 

 modules de périodicité z\,\, ^l.'.-,, . . ., <yl,' sont nuls (n'' 77) et la re- 

 lation (9) s'écrit 



(10) AïOll)'! -I- AaDb'a-F. . .-i- AplPo^;— 2«-[(p(a', b')— w{a, b)] = o. 



Jusqu'à présent nous avons supposé que w est une intégrale abé- 

 lienne quelconque de première espèce. Supposons en particulier 

 que ce soit une intégrale normale w^^K Alors tous les modules 

 de périodicité A,, Ao, . . ., A^ de cette intégrale relatifs aux cou- 

 pures a sont nuls, excepté A^ qui est égal à 27:/. La relation (10) 

 devient donc, en remplaçant w par tv^^^, 



Q. T. i ^SVk —irJ[ w'^-^ ( a', b' )— w^f^-\a, b)]= o, 



