FONCTIONS ALGEBRIQUES D UNE VARIABLE. 



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CHAPITRE ÏV. 



LES FONCTIONS ALGÉBRIQUES D'UNE VARIABLE 

 ET LES SURFACES DE RIEMANN CORRESPONDANTES (»). 



Continuité des racines d'une équation algébrique. — Points singuliers. — Méthode 

 de Puiseux. — Surfaces à m feuillets. — Point analytique. — Propriétés générales 

 des fonctions uniformes sur une surface de Riemann. 



79. Nous supposons connues les propriétés élémentaires d'nn 

 polynôme entier par rapport à une variable «, et en particulier le 

 théorème fondamental de la théorie des équations. 



Tout polynôme de degré m en u, à coefficients quelconques, 



P ( w) = Ao zi'" ^ Ai u'«-i -h . . . -h A,n 

 est décomposahle en un produit de m facteurs linéaires 



P{U) = Ao( W Ui){u— Ui) . . .{u — ll,n)' 



Il résulte immédiatement de cette décomposition que la varia- 

 tion de V argument du polynôme P(«), lorsque u décrit le con- 

 tour d'une aire dans le sens positif, est égale au produit de it, 

 par le nombre des racines du polynôme comprises dans cette 

 aire, chaque racine étant comptée autant de fois qu'il y a d'unités 

 dans son degré de multiplicité. Car l'argument d'un facteur 

 // — Ui revient à sa valeur initiale si le point ui est à l'extérieur 

 de l'aire considérée et augmente de 27: si ce point est à l'inté- 

 rieur de l'aire. On suppose cette aire limitée par une seule courbe. 



(') Auteurs à consulter : Puiseux, Mémoire sur la théorie des fonctions 

 algébriques {Journal de Liouville, t. XV). — Briot et Bouquet, Théorie des 

 fonctions doublement périodigues, Liv. I.— Simart, Thèse de Doctorat.— E. Pi- 

 card, Traité d'Analyse, t. II. 



