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CHAPITRE IV. 



SoitF(::. u) un polynôme entiei* à deux variables z et u^ de 

 degré m en u^ qui, ordonné par rapport à u^ s'écrit 





(0 



F{Z, u) = Oo{z)-^ UOi{z)-r-...-r-U' 



M, 



les coefficients 'f/(^) étant des polynômes entiers en 

 valeur de :r. l'équation 



A une 



(2) 



F(^, u) = o 



fait correspondre m valeurs pour u, à moins que le polynôme-. 

 Om{^) ne soit nul pour celte valeur particulière de z. Ces m va- 

 leurs de u varient en général avec .3 d'une manière continue. C'est 

 ce qui résulte du théorème suivant : 



Si pour z= a l'équation (2) a n racines égales à 6, pour 

 une valeur de z voisine de rt, elle a n racines vçisines de b. 



En remplaçant :; par a -j- z, el u par b -\- u, on est ramené au 

 cas où, pour ^ =: o, l'équation a n racines nulles. Les polynômes- 

 cpo(^), 'f I (^)j • • • T ?«-< {^) sont tous nuls pour ^ = o, mais 'fn(oX 

 n*est pas nul. L'équation (^1) peut s'écrire . 



(3) 



en posant 



F(^, a) = o„(^)u«(i 4- P -f- Q) = o, 



On-^-l 



^ On U"- 



?n-hi 



«1 



lini-n 



0,1 

 O,. U 



Du point ^ = o comme centre, décrivons une circonférence de 

 rayon p laissant à l'extérieur toutes les racines du polynôme 

 o,t{z). Soit A une limite inférieure du module de o,,(w) et B une: 

 limite supérieure du module des polynômes o«^, (^), . . . , 'f mV^) 

 lorsque z reste à l'intérieur de ce cercle, de telle sorte que l'on a, 

 lorsque |:j| <; p, 



l9«(^)i>A, 



,(.-)!< B (/> = ! 



m — n ). 





Si l'on prend pour z un point à l'intérieur de ce cercle et 

 pour u une valeur dont le module r est inférieur à l'unité, on a 



|Pi<X('- 



• •) 



