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CHAPITRK IV. 



l'unité décrit du point ç = i comme centre. Cette courbe ne peui 

 donc contenir l'origine à son intérieur, et l'argument de v revient 

 à sa valeur initiale. Par suite, l'argument de F(^, u) augmente d^ 

 2/?.-; l'équation F(z, u) = o a donc bien n racines de module 

 inférieur à r lorsque le module de z est inférieur à p^ 



80. Si, en particulier, Inéquation (2) a une seule racine égale 

 à b pour z = a, elle admet une seule racine voisine de 6, pour 

 une valeur de z voisine de a. 



On peut alors, des points z = a el u = b comme centres, dé- 

 crire deux cercles C, C, de rayons 0' et r respectivement, tels 

 que pour toute valeur de ^ comprise à l'intérieur de G l'équa- 

 tion (2) ait une racine et une seule à l'intérieur de G,. Cette ra- 

 cine u est donc une fonction uniforme et continue de ;: tant que- 

 cette variable reste comprise à l'intérieur du cercle C. Pour dé- 

 montrer que c'est une fonction analytique de z dans ce domaine, 

 il suffit de prouver qu'elle admet une dérivée. Attribuons à z un 

 accroissement A^ et soit à.u l'accroissement correspondant de u^ 

 on a 



,. F{z-h ^z, u-^ lu) ~-F{z, u) — o, 



ce qui peut s'écrire 



'f\ et r/ tendant vers zéro en même temps que ^u et A:^. On en 



déduit 



àF 



lu dz ' 



àz 



ùF 



Nous venons de voir que, lorsque As tend vers zéro, il en est de ^ 

 même de \u^ et, par suite, de r^ et de r/; le rapport — a donc une 



limite 



àF 

 du _ dz 

 in ~~ 'W' 

 du 



