FO>-CTIONS ALGÉBRIQUES d'uNE VARIABLE. 1 69 



En réalité, cette dérivée admet, comme u^ m valeurs pour 

 chaque valeur de z: mais on obtient sans ambiguïté la valeur 

 qu'il faut prendre, en remplaçant dans le second membre u parla 

 racine dont on cherche la dérivée. Tant que la variable z reste à 



d¥ 

 l'intérieur de C, le dénominateur — ne peut être nul, puisque Ja 



racine considérée est racine simple de l'équation (2). La dérivée 

 est donc elle-même une fonction continue de i: dans ce domaine. 

 Il suit de là qu'à l'intérieur de C la racine u est développable par 

 la formule de Tajlor 



uz=: b -^i^{z — a)-f- '7.^_{z — a)' -h. . . , 



et le ravon de convero^ence de cette série est au moins és^al à o' 

 mais peut lui être supérieur. 



De même, si,.pour ;3 = «, l'équation (2) a m racines simples 

 bi^ b2j . . ., bniy on peut trouver un cercle C de centre a et de 

 rajon assez petit pour qu'à l'intérieur de ce cercle les m racines 

 soient des fonctions uniformes et régulières. Les m racines sont 

 alors représentées par m développements distincts : on a, par 

 exemple, pour, la racine w/ qui se réduit à bi au point z = a, 



Ui = bi -h aV'(^ — a) -h 'xf{z — a)^ -h. . . . 



Les rayons de convergence de ces différentes séries sont, en gé- 

 néral, inégaux. 



Nous avons ainsi défini un élément de fonction algébrique. 

 Pour définir cette fonction lorsque la variable z décrit un chemin 

 quelconque, on étendra la définition de proche en proche. Sup- 

 posons que le polynôme F (.s, u) soit indécomposable, c'est- 

 à-dire ne soit pas le produit de deux autres polynômes entiers 

 en z et u. Alors l'équation F(^, u) =0 n'aura de racines mul- 

 tiples que pour des valeurs de z en nombre fini. On obtiendra 

 ces valeurs de z en éliminant u entre les deux équations 



d¥ 



marquons dans le plan des z ces valeurs de z^ ainsi que les racines 

 de l'équation 'fm(>^) = o. On appelle ces points les points singu- 

 liers. Cela posé, prenons deux points non singuliers Zqj Z, et un 



