170 CHAPITRE IV. 



chemin L joignant ces deux points et ne passant par aucun point 

 singulier. Soient «,, «o? •••5 "m les m racines simples de l'équa- 

 tion F(iïo? f^) = o ; si l'on part de Zq avec une de ces racines, a^ 

 par exemple, la valeur de cette racine sera fixée tout le long du 

 chemin L par la condition de continuité. En iin point ^ii voisin de- 

 z^^ l'équation F(i:,, z/) = o admet une seule racine u^ voisine. 

 de «, ; en un point z-i voisin de z^^ l'équation admet une seule ra- 

 cine u^ voisine de w', , et ainsi de suite. On arrive au point Z avec 

 une valeur de u déterminée sans ambiguïté. 



Nous devons maintenant étudier l'influence du chemin suivi par 

 la variable. La proposition suivante est fondamentale : 



Soit A une aire plane limitée par un seul contour, ne ren- 

 fermant aucun des points singuliers; si l'on va d' un point ^^ à 

 un autre point X par deux chemins contenus tout entiers dans 

 Vaire A, en prenant la même valeur initiale pour u, on arrive 

 au point Z avec la même valeur finale. 



Fig. 56. 



Soient ZQmTj^ z^nTj {fig. 56) les deux chemins allant de Zq à Z. 

 Joignons les deux points /tz et n ; nous formons ainsi deux contours 

 fermés z^mnzoj nmXn. Si les deux chemins ^q'^^^î ^o^-^ i^e con- 

 duisent pas à la même valeur finale pour w, il v aura au moins un 

 des contours fermés z^mn^o, nf?iZ n qui, décrit tout entier en pre- 

 nant au point de départ une des racines de l'équation (2), ne ramè- 

 nera pas cette racine. En effet, on peut remplacer le chemin z^mT, 

 par le chemin z^mn -j- nmTj. Supposons qu'en allant du point ^0 

 au point n par les deux chemins Zomn, z^n on obtienne la même 

 racine u' ^ puis que, partant du point n avec la racine u! ^ on aille au 

 point Z par les deux chemins /iZ, nmX^ et qu'on arrive dans les 

 deux cas avec la même valeur pour ;i-, alors les deuxchemins z^mT^ 

 et ZquV^ sont équivalents. Si donc ces deux chemins n'étaient pas 

 équivalents, il j aurait au moins deux des chemins {z^mn^z^n) et 



