FONCTIONS ALGEBRIQUES D UNE VARIABLE. I7I 



{n'Li nnilj)^ qui ne seraient pas non plus équivalents. Supposons, 

 par exemple, que les deux chemins z^mn et z^n ne conduisent 

 pas à la même valeur de u au point n. Alors le contour fermé 

 Zor?i/iZo, décrit avec la valeur initiale Ui pour «, ne ramènera pas 

 celte racine. En décomposant de même le contour z^ninz-Q en 

 deux contours plus petits, un de ces contours au moins devra 

 changer une des racines de l'équation (2) quand il sera décrit 

 tout entier. En continuant ainsi, on a une suite d'aires, toutes 

 comprises les unes dans les autres, et, si l'on choisit convenable- 

 ment les lignes de division, ces aires décroissent indéfiniment 

 dans toutes leurs dimensions. Elles ont donc pour limite un 

 point M, intérieur à A. Par conséquent, si l'on considère un 

 cercle de rayon aussi petit qu'on le veut, ayant son centre en M, 

 il devrait toujours exister à l'intérieur de ce cercle un contour c, 

 ne ramenant pas à sa valeur initiale une des racines de l'équa- 

 tion (2). Le point M serait donc nécessairement un point singu- 

 lier, ce qui est contraire à l'hypothèse. 



81. Il nous reste à examiner ce qui se passe lorsque la variable 

 indépendante z tourne autour d'un de ces points singuliers que 

 nous avons mis de côté. 



Soit ^ = <7 un point pour lequel Péquation F(:j, u) = o admet 

 une racine u = b d'ordre n. En un point ^07 voisin de a, l'équa- 

 tion aura /z racines voisines de 6 



lll, lU, .... Un. 



Si la variable z part de ^0 ^^ décrit une petite courbe fermée G 

 autour du point a, la fonction ayant la valeur initiale ;/,, cette fonc- 

 tion leprend sa valeur initiale, ou, comme sa variation ne peut 

 être que très petite, sa valeur finale est une des autres valeurs de 

 u qui, pour z = z^^ sont voisines de b. Dans le premier cas, la 

 racine Ui est une fonction uniforme de ;: dans le voisinage de 

 z z= rt, développable en une série procédant suivant les puissances 

 entières et positives de z — a. Dans le second cas, soit Ui la valeur 

 finale; si l'on décrit de nouveau la courbe G dans le même sens 

 avec la valeur initiale z//, il est impossible que l'on retrouve la ra- 

 cine Uij car Je chemin inverse doit ramener «,. On obtiendra 

 donc u, ou jLine autre des racines non encore obtenues. Si l'on re- 



