FONCTIONS ALGÉBRIQUES d'uNE VARIVBLE. IJS 



//,, 11-2^ ' -'1 fip sont des fonctions uni/ormes de .3^ En effet, si z' 

 décrit une petite courbe fermée ne tournant pas autour du point 

 z.'= o, ;; décrit une petite courbe fermée ne tournant pas autour 

 du point a et chaque racine reprend sa valeur initiale. Si z' décrit 

 une petite courbe fermée tournant une fois autour du point 

 z'zzzo, z décrit une petite courbe fermée tournant p fois autour 

 du point a, comme il résulte de la substitution : chaque racine 

 reprend donc encore sa valeur initiale d'après la façon dont ces 

 racines s'échangent. D'après cela, Wf, par exemple, est une fonc- 

 tion analytique de z' ^ devenant égale à b pour ^'= o, uniforme, 

 finie et continue pour les valeurs de z' appartenant à un domaine 

 suffisamment petit du point z' = o. Cette racine U{ est donc 

 développable, par la formule de Tajlor, en une série procédant 

 suivant les puissances entières et positives de ^, 



ux = b ^biz ~ 62-'--+-. . . -f- év -'^ H- 



Si l'on revient à l'ancienne variable 5, liée à z' par l'équation 

 écrite plus haut, qui donne 



z'={z-a)P, 



on a le développement suivant pour w, 



1 2 2. 



u^ = b-^bi{z — a)P^bi(z — a)f'-^..,-^b.,{z — a)P-^..., 



j^ 

 procédant suivant les puissances entières et positives âe (z — a)P . 

 On obtiendra des développements de même forme pour «o^ 

 //j, ..., iip. On peut d'ailleurs les déduire de celui de Ui en 

 s'appuvant sur la loi même de permutation des racines. Posons 



(jj = e P . 



Prenons la racine w, définie par la série précédente et sup- 

 posons que l'on fasse décrire à ^ un petit cercle autour du 

 point z =^ a, dans le sens positif. La racine «1 devient z/o et 



{z—a)P devient iû(z— a)P, car, l'argument de z — a augmen- 



tant de 2-, celui de (z — a)P augmente de — • On a donc le déve- 



