174 CHAPITRE IV 



loppement suivant pour ^^>, 



u, = b-^ bi io{z — ay H- b. io2 (z — a)'' -^ . . . -^ 6.; a>v(^ — a)^ -h. . . . .. 



Un nouveau tour de z autour du point a donnera «3 en chan-' 



1 1 



— , — - . <i 



géant (:: — a)P en lo(z — a)^, 



et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait obtenu toutes les racines w,,, 

 iti^ ..., f^^. On voit donc que les/» racines appartenant à un même ;^ 

 système circulaire sont représentées par une même série procé- "rî 



dant suivant les puissances entières et positives de (:; — ^)^i '^ 



L 1 



Il ~ b -^ bi(z — a)f^ -J^- bi{z — rt)^-^..., 



les différentes racines z/,, Un, ..., Up étant obtenues en rempla- 



çant successivement dans ce développement (-■ — a)P par ses p 

 déterminations. ® 



/ 82. Nous venons d'étudier les racines qui deviennent égales à --^ 

 une valeur finie b quand z tend vers une valeur finie a. L'étude /^» 

 des racines devenant infinies pour z ^=^ a nous conduira à la notion .^^g 

 des pôles d'une fonction algébrique. Ordonnons Féquation " 

 F(:;, z/.) = o par rapport aux puissances décroissantes de ?^, 



Y{z,u)=.0,nyz)u'" 



{^z)u'n-^-^.,,^^,^z)li-^'0^{z)^0. 



Soit z =^ a une racine de l'équation Om {-■) =^ c» î lorsque z tend 



vers rt, une ou plusieurs racines deviennent infinies. Pour étudief 



ces racines, posons 



i 



l'équation (2) se change en une nouvelW équation 

 il') . F,{z,a') = F(^z,L,yi''n=.o, 



